Funkcję \( W(x)=\frac{ P(x) }{ Q(x) } \) nazywamy funkcją wymierną , jeśli \( P(x) \) i \( Q(x) \) są wielomianami dowolnego stopnia.
Jeśli stopień wielomianu \( P(x) \) jest mniejszy niż stopień wielomianu \( Q(x), \) to funkcję \( W(x) \) nazywamy funkcją wymierną właściwą (ułamkiem wymiernym) .
Zauważmy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą (tj. \( st.P(x) \geq st.Q(x) \)) można przedstawić jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej poprzez wykonanie dzielenia wielomianów z resztą.
Kilka przykładów pozwoli nam się zapoznać z technikami przekształcania funkcji wymiernej niewłaściwej na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
Przykład 1:
Przedstawić podaną funkcję wymierną w postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego
Twierdzenie 1: o rozkładzie wielomianu na czynniki
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić jako iloczyn czynników \( (x-a_i)^{ k_i } \) i \( (x^2+b_ix+c_i)^{l_i} \), gdzie wielomiany \( x^2+b_ix+c_i \) są nierozkładalne (tzn. mają \( \Delta_i <0) \) zaś \( k_i, l_i \in \mathbb{N} \cup \{0\} \) nazywają się krotnościami tych czynników. Wówczas wielomian dla \( a_n
\neq 0 \) ma postać:
gdzie obie zapisane w nawiasach funkcje kwadratowe są nierozkładalne (w obu przypadkach ich \( \Delta<0 \)). Zatem jest to szukany rozkład wielomianu \( P(x) \), gdyż jest to iloczyn złożony jedynie z czynników liniowych lub kwadratowych, o delcie ujemnej, w pewnych potęgach (tutaj oba te czynniki mają krotności pojedyncze).
Przykład 5:
Rozłóżmy wielomian \( Q(x) \) na czynniki, jeśli
\( Q(x)=2x^4+20x^2+18. \)
Zróbmy podstawienie \( x^2=t \geq 0 \) czyli \( Q(t)=2t^2+20t+18 \). Korzystając z własności funkcji kwadratowej \( (\Delta=b^2-4ac, t_1=\frac{ -b-\sqrt{\Delta }}{ 2a }, t_2=\frac{ -b+\sqrt{\Delta} }{ 2a } ) \), otrzymujemy, że \( t_1=-1 \) oraz \( t_2=-9 \). Nie chodzi tu jednak o wyliczenie pierwiastków wielomianu, których nasz wielomian oczywiście nie ma, a jedynie o zamianę sumy na iloczyn.
Stąd mamy postać iloczynową
\( Q(t)=2t^2+20t+18=2(t+1)(t+9). \)
Wracając do podstawienia mamy szukany rozkład wielomianu \( Q(x) \) na czynniki
Zauważmy, że \( W(1)=0 \), a zatem z twierdzenia \( B \acute{ e }zouta \) wielomian \( W(x) \) jest podzielny przed dwumian \( (x-1) \). Dzieląc z resztą wielomiany, bądź stosując schemat Hornera, otrzymujemy
Jest to szukany rozkład wielomianu \( W(x), \) ponieważ wyróżniki (tzn. \( \Delta \)) obu funkcji kwadratowych: \( (x^2-x+1) \) i \( (x^2+x+1) \) są mniejsze od zera. Nasz wielomian \( W(x) \) ma jeden czynnik liniowy w krotności podwójnej oraz dwa czynniki kwadratowe nierozkładalne, każdy z nich o pojedynczej krotności.
Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Przypominanie hasła
Moduł został dodany
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.